稍後，米爾諾（milnor）發現了七維怪球。

七維怪球是一個處處光滑的七維流形，雖然它可以連續地變形成正常的（圓球狀）的七維球面，但卻不能光滑地變形成正常的七維球面。

因此怪球和正常球面是同胚，但不是微分同胚。

本章一開始提到的數學家米爾諾，他在1962年獲得菲爾茲獎，主要就是因為證明了怪球確實存在。

在此之前，人們根本不相信會有這種空間，所以才會被稱為“怪異的”。

這是 milnor怪球的微分結構。S^4上的 S^3-叢是一個纖維叢，底流形是 S^4，標準纖維是 S^3.這個纖維叢同胚於 S^7，但是不微分同胚於 S^7.

這是同一個度區域性歐氏空間上可以存在不同微分結構的著名例子，或者說是拓撲結構不足以決定（如果容許的話）微分結構的例子。

如果一個拓撲空間是一個區域性歐氏空間的話，就可以用區域性座標來分片刻畫它，但是座標變換隻能是連續的，不一定可微。

如果在所有這問些座標系中篩選一部分出來，使之能夠覆蓋整個空間，而相答互之間的座標變換又是光滑（或某個 k階連續）的，這就相當於在該空間上指定了一個微分結構（要求微分結構極大，即，不可再向其中新增新的座標系使之滿足相容性，這只是為了讓這個極大集去代表這個微分結構而已）。

milnor怪球的例子表明，在拓撲結構所容內許的區域性座標系中挑容選微分結構的時候，有可能選出不同的微分結構，所以，微分結構是拓撲結構之上的一個新的結構。

它不是球極投影的纖維叢。